Pole powierzchni

Pole powierzchni

Pole powierzchni (potocznie po prostu powierzchnia figury lub pole figury) - miara, przyporządkowująca danej figurze nieujemną liczbę w pewnym sensie charakteryzującą jej rozmiar.

Ścisła definicja wymaga wykonania pewnej konstrukcji.

Zawartość

1 Konstrukcja pojęcia pola
2 Definicja szkolna
3 Pole pod krzywą
4 Pola typowych figur
5 Sprawdź również

Konstrukcja pojęcia pola

I Definicja

Zobacz więcej w osobnych artykułach: Miara Jordana, Miara Lebesgue'a, Wymiar pudełkowy.

Niektóre informacje zawarte w artykule wymagają weryfikacji.
Do weryfikacji: definicja poniżej daje tylko zewnętrzną miarę Jordana; granica ta zawsze istnieje i nie w tym problem - problem w tym aby była równa mierze wewnętrznej

Najczęściej spotykana definicja (i jedna z najogólniejszych) odwołuje się do następującej konstrukcji:

Pokrywamy całą płaszczyznę, na której znajduje się dana figura, siatką przylegających kwadratów o bokach $a 1$ .
Liczbę kwadratów mających choćby jeden punkt wspólny z figurą, której powierzchnię mierzymy, oznaczamy przez $n 1$ .

Tworząc rozmaite siatki kwadratów o coraz to mniejszych bokach $a_1>a_2>a_3>\ldots$ , itd. uzyskujemy ciąg liczb $n 1, n 2,...$ .
Polem powierzchni nazywamy granicę:

$S=\lim_{i \to \infty}n_i~a_i^2$

Granica ta nie zawsze istnieje. Jeśli nie istnieje, pola powierzchni nie da się obliczyć tą metodą.

Co więcej, konstrukcja ta ma jeszcze jedną wadę - choć dobrze sprawdza się w typowych wypadkach, jednak nie posiada podstawowej własności, która intuicyjnie powinna charakteryzować pole powierzchni: suma pól dwóch nie nachodzących na siebie figur może być większa niż pole figury powstałej z ich połączenia.

II Definicja

Niektóre informacje zawarte w artykule wymagają weryfikacji.
Do weryfikacji: ja mogę być już całkiem druged, ale to co jest poniżej wydaje się być dość podejrzane

Sposób ten jest nieco mniej abstrakcyjny od poprzedniego i jednocześnie może być używany do obliczania pól powierzchni w przestrzeni trójwymiarowej.
Algorytm obliczania pola S powierzchni $σ$ :

1. Weźmy dowolna liczbę r>0.

2. Niech

V (σ, r)

będzie objetoscią sumy (NIE sumą objętości) wszystkich kul o środkach należących do powierzchni

σ

i promieniu r.

3. Jeżeli istnieje granica:

$S=\lim_{r \to 0}{V(\sigma,r) \over 2r}$

to liczba S jest polem powierzchni

σ

Problem wyznaczania pól dla wszystkich figur

Zbiory

$\{(x,y):0<x<1,\ 0<y<1,\ x,y$ są wymierne

}

oraz

$\{(x,y): 0<x<1,\ 0<y<1,\ x$ jest niewymierny lub y jest niewymierny

}

są rozłączne i oba mają zewnętrzną miarę Jordana równą 1. Suma tych dwóch figur (czyli wnętrze kwadratu) ma pole równe 1, skąd możemy wnioskować że pola naszych figur nie można zdefiniować używając podejścia Jordana.

Istnienie nietrywialnej funkcji, którą dałoby się zmierzyć dowolną figurę i która dla dowolnego ciągu przeliczalnego rozłącznych figur dawałaby wynik równy ich sumie jest niedowodliwe w standardowym systemie aksjomatów ZFC.
Zbiór Vitalego i zbiór Bernsteina (istniejące przy założeniu aksjomatu wyboru) są niemierzalne w sensie Lebesgue'a.
Prz założeniu aksjomatu wyboru istnieje skończenie addytywna miara mierząca wszystkie podzbiory przestrzeni.
Przy założeniu AD, wszystkie podzbiory przestrzeni euklidesowych są mierzalne w sensie Lebesgue'a. * Jeśli istnieje liczba mierzalna, to jestr niesprzeczne że continuum jest rzeczywiście mierzalne i że istnieje miara na płaszczyźnie mierząca wszystkie jej podzbiory.

Definicja szkolna

Definicja używana w gimnazjach i szkołach średnich.

Obieramy kwadrat o boku 1.
Kwadrat ten zwany kwadratem jednostkowym jest jednostką pola.
Pole jest równe liczbie kwadratów jednostkowych lub jego części mieszczących się całkowicie w mierzonej figurze.

Definicja ta tak naprawdę podaje tylko dolne oszacowanie pola powierzchni danej figury, którego dokładność zależy od kształtu figury.

Pole pod krzywą

Pole między krzywą daną równaniem y=f(x) a osią OX ograniczone prostymi x=a i x=b, a≤b jest równe całce oznaczonej

$S=\int\limits_{a}^{b}|f(x)|dx$

Pola typowych figur

Równoległobok o bokach a i b i kącie α między nimi:
- Prostokąt o bokach a i b: $S=ab\,$
- Kwadrat o boku a: $S=a^2\,$
pole obszaru ograniczonego przez elipsę o półosiach a i b: $S=\pi ab\,$
Koło o promieniu r: $S=\pi r^2\,$
Wielokąt foremny (r – promień okręgu wpisanego w wielokąt, R – promień okręgu opisanego, a – bok wielokąta):

$S=\frac{nar}{2}=nr^2\,\operatorname{tg}\frac{\pi}{n}=\frac{n}{2}R^2\sin\frac{2\pi}{n}=\frac{n}{4}a^2\,\operatorname{ctg}\frac{\pi}{n}$

Trójkąt równoboczny:

$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$

Sprawdź również

wymiana linkami wymiana linkami system wymiany linków

Strumień myśli posła Ziobry
Jeszcze nie dotarliśmy do materii, która jest przedmiotem komisji śledczej - przewodniczący komisji Andrzej Czuma (PO) przerwał wczoraj w 25. minucie wystąpienie Zbigniew Ziobry, byłego ministra sprawiedliwości.

Papała i sekret Mazura - cd.
Milczanowski: Zacharski nie spotkał Mazura na Majorce. Ktoś chce go wrobić

Premier: Emerytalne plany skorygujemy
- Nie ma sporu o emerytury dla nauczycieli w koalicji - mówi premier. Tymczasem minister pracy z PSL nadal forsuje swój projekt, który oficjalnie nie podoba się Platformie.

Rozmowa z minister Jolantą Fedak
- Związkowcy oświatowi walczą o to, żeby uprawnienia przedemerytalne przedłużyć im w nieskończoność. Na to rząd się absolutnie nie godzi. Dlatego mój projekt oceniam jako krok do przodu - mówi w rozmowie z ”Gazetą” Jolanta Fedak

Rozmowa z minister pracy Jolantą Fedak (PSL)

Czy CBA zastraszało inspektorów wywiadu skarbowego?
CBA poskarży się do premiera na wiceministra finansów, który mówił o zastraszaniu inspektorów wywiadu skarbowego przez agentów Biura. Zarzuty wiceministra zbada prokuratura

Iwabradyna wykreślona
Nie ma jej już na liście leków refundowanych przez NFZ. - Nie będziemy dopłacać do niesprawdzonego preparatu - wyjaśnia minister zdrowia Ewa Kopacz

Leczenie kosztem podwyżek?
NFZ chce dawać mniej na pensje lekarzy, a więcej na leczenie. - Na takie kalkulacje się nie zgadzamy - mówią dyrektorzy szpitali

Próbny egzamin gimnazjalny z „Gazetą"

Polskie śledztwo w sprawie „Sirius Star”
Polska prokuratura chciałaby postawić przed sądem piratów, którzy porwali statek „Sirius Star”

Szpetne, banalne, nielubiane
Rzeźba pomnikowa w wolnej Polsce zatrzymała się w rozwoju. Te same tematy (wojna, martyrologia, wielcy ludzie), te same motywy (najczęściej postać na cokole), ci sami twórcy. Nowatorskie pomysły i niekonwencjonalne wizje nie mają żadnych szans

Dobry pomnik ma energię
W Polsce wciąż obowiązuje wzorzec XIX-wiecznego realizmu. Powstają w efekcie rzeźby banalne, nudne, a niekiedy wręcz przerażające swoją szpetotą - mówi o polskich pomnikach dr Bartłomiej Gutowski*.

Sondaż: Prezydentowi szkodzi kohabitacja z Tuskiem
Lecha Kaczyńskiego krytykuje 67 proc. Polaków, chwali - 24 proc. To najgorszy wynik w jego ponadtrzyletniej prezydenturze

Wcześniak wciąż w szpitalu, mama już w pracy
Wojtuś urodził się w 27. tygodniu ciąży i ważył 800 g. Mama bała się go nawet pogłaskać, żeby do inkubatora nie dostały się zarazki. Jest podłączony do respiratora. Ma pół roku i ciągle walczy o życie. A jego mamie właśnie skończył się urlop macierzyński.

Znak życia od uprowadzonego inżyniera
Krakowska prokuratura sprawdza list w sprawie porwanego w Pakistanie polskiego inżyniera, jaki kilkanaście dni temu dotarł do Polski.

Przychodzi baba do pośredniaka
Nie sądziłem, że to będzie tak upokarzające. Od chwili wejścia w te drzwi uświadamiano mi, że jestem gorszy, bo bezrobotny - mówi Tadeusz, były handlowiec, lat 48.

Farfał zawieszony
Związanego z LPR członka zarządu TVP Piotra Farfała zawiesiła wczoraj rada nadzorcza telewizji.

TVP. Piotr Farfał zawieszony
Związanego z Ligą Polskich Rodzin członka zarządu TVP Piotra Farfała zawiesiła dziś rada nadzorcza Telewizji Polskiej.

Farfał zawieszony
Związanego z LPR członka zarządu TVP Piotra Farfała zawiesiła dziś rada nadzorcza TVP

Tablice niepamięci o Żydach
Ani jeden Żyd nie znalazł się na tablicach upamiętniających mieszkańców Brzeska - ofiary obozów koncentracyjnych